题目内容
【题目】已知函数f（x）=ln（ax+ 
）+ 
．
（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：对f（x）求导：f'（x）= 
﹣ 
；
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；
即： ≥ ；
∵a＞0，x＞0；
∴ 
≤x2+ 
；
故x2+ 在x＞0上最小值为 ；
所以： ≤ ；
解得：a≥2
（2）解：假设存在这样的实数a，则f（x）≥1在x＞0上恒成立，即ln（a+ 
）+ 
≥1；
ln（a+ ）≥ 
＞0=ln1，解得a＞ ；
从而这样的实数a必须为正实数，当a≥2时，由上面的讨论知f（x）在（0，+∞）上递增．
f（x）＞f（0）=2﹣ln2＞1，此时不合题意，故这样的a必须满足0＜a＜2；
此时：f'（x）＞0得f（x）的增区间为（ 
）；令f'（x）＜0得f（x）的减区间为（0， 
）；
故f（x）min=f（ ）=ln（a + ）+ 
=1；
整理即：ln（ 
）﹣ 
=0；
ln（ ）﹣ 
=0；
设t= ∈（ ，1]；
则上式即为lnt﹣ 
=0，构造g（t）=lnt﹣ ，则等价于g（t）=0；
由于y=lnt为增函数，y= 为减函数，故g（t）为增函数；
观察知g（1）=0，故g（t）=0等价于t=1，与之对应的a=1，
综上符合条件的实数a是存在的，即a=1
【解析】（1）首先对f（x）求导，f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；利用分离参数法求出a的范围；（2）利用反证法假设a存在，则f（x）≥1在x＞0上恒成立可得a＞ ；利用导数判断出函数f（x）min=1时，可求出参数a的值；
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．
