题目内容
【题目】如图,在长方体中,
,
,
,平面
截长方体得到一个矩形
,且
,
.
(1)求截面把该长方体分成的两部分体积之比;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由题意,平面把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可.
(2)解法一:作,垂足为
,证明
,推出
平面
.通过计算求出
的值.设直线
与平面
所成角为
,求解即可.
解法二:建立空间直角坐标系,求出平面一个法向量,设直线
与平面
所成角为
,通过空间向量的数量积求解即可.
(1)由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,
,
,
所以,.
(2)解法一:作,足为
,题意,
平面
,故
,
所以平面
,因为
,
,所以
,因为
,
所以.又
,
设直线与平面
所成角为
,则
.
所以,直线与平面
所成角的正弦值为
.
解法二:以、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
故,
,
设平面一个法向量为
,
则即
,
所以可取.
设直线与平面
所成角为
,
则.
所以,直线与平面
所成角的正弦值为
.
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