题目内容
【题目】已知.
(1)已知是
导函数,求
的极值;
(2)设,若
有两个零点,求a的取值范围.
【答案】(1) 极小值为 (2)
【解析】
(1)先求出,再利用导数求
的极值;(2)先求出
,再对a分a>0,a=0,a<0三种情况,根据函数g(x)有两个零点求出a的取值范围.
解:(1)
①若,显然
所以
在R上递增,所以
没有极值.
②若,则
,
所以在
上是减函数,在
上是增函数.
所以在
处取极小值,极小值为
(2).函数
的定义域为R,
且.
①若,则
.
所以在
上是减函数,在
上是增函数.
所以.
令,则
.
显然,所以
在
上是减函数.
又函数在
上是减函数,取实数
,
则
又在
上是减函数,在
上是增函数.
由零点存在性定理,在
,
上各有一个唯一的零点.所以
符合题意.
②若,则
,显然
仅有一个零点1,所以
不符合题意.
③若,则
.
(i)若,则
,此时
,
即在R上递增,至多只有一个零点,
所以不符合题意,
(ii)若,则
,函数
在
上是增函数,
在上是减函数,在
上是增函数,
所以在
处取得极大值,且极大值
,
所以最多有一个零点,所以
不符合题意.
(iii)若,则
,函数
在
和
上递增,在
上递减,所以
在
处取得极大值,且极大值为
,所以
最多有一个零点,所以
不符合题意.
综上所述,a的取值范围是

【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合计 |
(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且
的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数
(元)的分布列并求其数学期望.
附:参考公式和数据:,
.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
【题目】端午节是中国传统节日之一节日期间,各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响.某记者走访市场发现,各大商场粽子种类繁多,价格不一根据数据统计分析,得到了某商场不同种类的粽子销售价格(单位:元/千克)的频数分布表,如表一所示.
表一:
价格/(元/千克) | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) |
种类数 | 4 | 12 | 16 | 6 | 2 |
在调查中,记者还发现,各大品牌在馅料方面还做足了功课,满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽,很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内,记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查,结果如表二.
表二:
喜欢传统馅料粽 | 喜欢特色馅料粽 | 总计 | |
40岁以下 | 30 | 15 | 45 |
40岁及以上 | 50 | 5 | 55 |
总计 | 80 | 20 | 100 |
(1)根据表一估计该商场粽子的平均销售价(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关?
参考公式和数据:(其中
为样本容量)
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |