题目内容

定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),则下面结论正确的是(  )
①若f′(x)>g′(x),则函数f(x)的图象在函数g(x)的图象上方;
②若函数f′(x)与g′(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)与g(x)的图象关于点(a,0)对称;
③函数f(x)=f(a-x),则f′(x)=-f′(a-x);
④若f′(x)是增函数,则f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
A、①②B、①②③
C、③④D、②③④
考点:导数的运算
专题:导数的综合应用
分析:①由f′(x)>g′(x),由导数的几何意义可得:函数f(x)比g(x)增加的快,而函数f(x)的图象不一定在函数g(x)的图象上方;
②利用轴对称的性质,考虑其逆否命题即可得出;
③由复合函数的导数运算法则即可得出;
④利用导数的几何意义即可得出.
解答:解:①由f′(x)>g′(x),说明函数f(x)比g(x)增加的快,而函数f(x)的图象不一定在函数g(x)的图象上方,因此不正确;
②由函数f′(x)与g′(x)的图象关于直线x=a对称,可得f′(x)=g′(2a-x).
假设函数f(x)与g(x)的图象关于点(a,0)不对称,则g(2a-x)≠-f(x),
∴g′(2a-x)≠f′(x),
这与f′(x)=g′(2a-x)相矛盾,因此假设不成立.
∴函数f(x)与g(x)的图象关于点(a,0)对称,正确.
③函数f(x)=f(a-x),由复合函数的导数运算法则可得:f′(x)=-f′(a-x),故正确;
④由f′(x)是增函数,可得f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
正确.
综上可知:②③④正确.
故选:D.
点评:本题综合考查了导数的意义及其运算法则、函数的轴对称等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和解决问题的能力,属于难题.
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