Question

已知M是x²=8y的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PM|=m|PN|，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为（　　）

• A、2（

  2

  -1）
• B、4（

  2

  -1）
• C、2（

  2

  +1）
• D、4（

  2

  +1）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义，结合|PM|=m|PN|，可得

1

m

=

|PB|

|PM|

，设PM的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．

解答：解：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PM|=m|PN|，
∴|PM|=m|PB|
∴

1

m

=

|PB|

|PM|

，
设PM的倾斜角为α，则sinα=

1

m

，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，
设直线PM的方程为y=kx-2，代入x²=8y，可得x²=8（kx-2），
即x²-8kx+16=0，
∴△=64k²-64=0，
∴k=±1，
∴P（4，4

2

），
∴双曲线的实轴长为PM-PN=

14+(4 2 +2)2

-（4

2

+2）=4（

2

-1）．
故选：B．

点评：本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，是解题的关键．