Question

8．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若a=2，且g（x）=f²（x）-2mf（x）+2在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值；
（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得0＜a＜1，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
由△＜0求得t的取值范围；
（3）把a=2代入函数f（x）的解析式，令t=f（x）=2^x-2^-x（x≥1）换元，求出t的范围，则y=g（x）=f²（x）-2mf（x）+2=t²-2mt+2，然后利用二次函数的单调性求得y的最小值，由最小值为-2求m的值．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2．
当k=2时，f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），∴f（-x）=-f（x）成立，
∴f（x）是定义域为R的奇函数；
（2）函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-$\frac{1}{a}$＜0，
∵a＞0，∴0＜a＜1．
由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0，可化为f（x²+tx）＜f（x-4）．
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5；
（3）a=2时，f（x）=2^x-2^-x，令t=f（x）=2^x-2^-x（x≥1），则t$≥\frac{3}{2}$．
∴y=g（x）=f²（x）-2mf（x）+2=t²-2mt+2．
对称轴方程为t=m，当m$≤\frac{3}{2}$时，y=t²-2mt+2在[$\frac{3}{2}，+∞$）上为增函数，${y}_{min}=（\frac{3}{2}）^{2}-2m•\frac{3}{2}+2=\frac{17}{4}-3m$，
由$\frac{17}{4}-3m=-2$，解得：m=$\frac{25}{12}$（舍）；
当m$＞\frac{3}{2}$时，y=t²-2mt+2在[$\frac{3}{2}，m$）上为减函数，在（m，+∞）上为增函数，${y}_{min}={m}^{2}-2{m}^{2}+2=2-{m}^{2}$，
由2-m²=-2，解得m=-2（舍）或m=2．
∴m=2．

点评 本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，训练了利用二次函数的单调性求函数的最值，属于中高档题．