Question

19．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数，且在x=-1处取得极大值2．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若f（x）+（m+2）x≤x²（e^x-1）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数知b=d=0，再由f（x）在x=-1处取得极大值2知$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3a+c=0}\\{f（-1）=-a-c=2}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）化简f（x）+（m+2）x≤x²（e^x-1）为（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x，从而分x=0与x≠0讨论，从而化恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数，
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c；
又∵f（x）在x=-1处取得极大值2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3a+c=0}\\{f（-1）=-a-c=2}\end{array}\right.$，
解得，a=1，c=-3；
故f（x）解析式为f（x）=x³-3x；
（2）∵f（x）+（m+2）x≤x²（e^x-1），
∴x³-3x+（m+2）x≤x²（e^x-1），
即（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x，
当x=0时，m∈R；
当x＞0时，
m+2≤xe^x-x-x²+3，
即m≤x（e^x-x-1）+1，
令h（x）=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
故h（x）＞h（0）=0；
∴x（e^x-x-1）+1＞1；
∴m≤1；
∴实数m的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．