题目内容
【题目】如图,已知椭圆,分别为其左、右焦点,过的直线与此椭圆相交于两点,且的周长为8,椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐标系中,已知点与点,过的动直线(不与轴平行)与椭圆相交于两点,点是点关于轴的对称点.求证:
(i)三点共线.
(ii).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
Ⅰ由三角形的周长可得,根据离心率可得,即可求出,则椭圆方程可求;Ⅱ当直线l的斜率不存在时,A、B分别为椭圆短轴两端点,满足Q,A,三点共线当直线l的斜率存在时,设直线方程为,联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,然后利用向量证明.由可知Q,A,三点共线,即,问题得以证明.
解:Ⅰ的周长为8,,即,
,,,
故椭圆C的方程为
Ⅱ证明:当直线l的斜率不存在时,A、B分别为椭圆短轴两端点,满足Q,A,三点共线.
当直线l的斜率存在时,设直线方程为,
联立,得.
设,,则,
,,
,,
.
与共线,则Q,A,三点共线.
由可知Q,A,三点共线,
练习册系列答案
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