题目内容

【题目】如图,已知椭圆分别为其左、右焦点,过的直线与此椭圆相交于两点,且的周长为8,椭圆的离心率为

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)在平面直角坐标系中,已知点与点,过的动直线(不与轴平行)与椭圆相交于两点,点是点关于轴的对称点.求证:

i三点共线.

ii

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.

【解析】

由三角形的周长可得,根据离心率可得,即可求出,则椭圆方程可求;当直线l的斜率不存在时,AB分别为椭圆短轴两端点,满足QA三点共线当直线l的斜率存在时,设直线方程为,联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,然后利用向量证明.可知QA三点共线,即,问题得以证明.

解:的周长为8,即

故椭圆C的方程为

证明:当直线l的斜率不存在时,AB分别为椭圆短轴两端点,满足QA三点共线.

当直线l的斜率存在时,设直线方程为

联立,得

,则

共线,则QA三点共线.

可知QA三点共线,

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