Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别是，，且，点在椭圆上，面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于、两点，求内切圆半径的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）

【解析】

（1）由题可得,且当点在短轴端点时,的面积最大,联立可求得,即可求出椭圆方程;

（2）由内切圆的性质可得,设出直线方程与椭圆方程联立,可得到的表达式,进而得到内切圆半径的表达式,求出取值范围即可.

（1）由题意,,即,

当点在短轴端点时,的面积最大,则,解得,

所以,,所以椭圆的方程为.

（2）由题可知,过的直线斜率不为0,设方程为,的内切圆半径为.

联立,得,则,

所以,

所以.

而，

所以.

令，则，

构造函数,求导,

当时,,即,

故函数在时,单调递增,即,

所以的取值范围是.