Question

【题目】设抛物线的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设过点的直线分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且，求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）48.

【解析】

（1）根据题意可得：圆的半径，从而求出值，得到抛物线方程；

（2）设出和的方程，分别与抛物线联立方程，消去，得到关于的一元二次方程，写出韦达定理，利用弦长公式求出、的长，从而表示出四边形面积，利用二次函数的性质求出最小值。

由于过点 作垂直于 轴的直线与抛物线交于两点，则，

以线段为直径的圆过点，则圆的半径， 解得：,

故抛物线的方程为.

（2）设直线的方程为，联立，消去得：

，设点，则，，

所以，

同理可得：，

则四边形的面积：

.

令，则

当，即时，，四边形DGEH面积的最小值为48．