题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)证明:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1),分
和
两种情况讨论单调性即可;(2)法一:将不等式
变形为
,构造函数
,证明
即可;法二:将不等式
变形为
,分别设
,求导证明
即可.
(1) ,
当时,
,函数
的单调增区间为
,无减区间;
当时,
,当
,
,
单增区间为
上增,单调减区间为
上递减。
(2)解法1: ,即证
,令
,
,
,令
,
,
在
,上单调递增,
,
,故存在唯一的
使得
,
)在
上单调递减,在
上单调递增,
,
,
当
时,
,
时,
; 所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
,得证.
解法2:要证: ,即证:
,令
,
,
当
时,
,
时,
;所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
; 令
,
,,当
时,
,
时,
; 所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
,
,
,得证.
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