题目内容

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,下顶点为,椭圆的离心率是的面积是.

1)求椭圆的标准方程.

2)直线与椭圆交于两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.

【答案】1 2)证明见解析,.

【解析】

1)根据离心率和的面积是得到方程组,计算得到答案.

2)先排除斜率为0时的情况,设,联立方程组利用韦达定理得到,根据化简得到,代入直线方程得到答案.

1)由题意可得,解得,则椭圆的标准方程是.

2)当直线的斜率为0时,直线与直线关于轴对称,则直线与直线的斜率之和为零,与题设条件矛盾,故直线的斜率不为0.

,直线的方程为

联立,整理得

.

因为直线与直线的斜率之和为1,所以

所以

代入上式,整理得.

所以,即

则直线的方程为.

故直线恒过定点.

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