题目内容
【题目】设椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1); (2)证明见解析,.
【解析】
(1)根据离心率和的面积是得到方程组,计算得到答案.
(2)先排除斜率为0时的情况,设,,联立方程组利用韦达定理得到,,根据化简得到,代入直线方程得到答案.
(1)由题意可得,解得,,则椭圆的标准方程是.
(2)当直线的斜率为0时,直线与直线关于轴对称,则直线与直线的斜率之和为零,与题设条件矛盾,故直线的斜率不为0.
设,,直线的方程为
联立,整理得
则,.
因为直线与直线的斜率之和为1,所以,
所以,
将,代入上式,整理得.
所以,即,
则直线的方程为.
故直线恒过定点.
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