题目内容
【题目】如图,已知四棱锥中,四边形为矩形,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)设,求平面
与平面
所成的二面角的正弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)证明BC平面SDC,即可证得AD
平面SDC,即可证得SC
AD,利用SC2+SD2=DC2证得SC
SD,问题得证。
(2)以点O为原点,建立坐标系如图,求得S(0,0,),C(0,
,0), A(2,-
,0),B(2,
,0),利用
即可求得E(2,
,0),求得
,
,利用空间向量夹角公式计算即可得解。
(1)证明: BCSD ,BC
CD
则BC平面SDC, 又
则AD平面SDC,
平面SDC
SCAD
又在△SDC中,SC=SD=2, DC=AB,故SC2+SD2=DC2
则SCSD ,又
所以 SC平面SAD
(2)解:作SOCD于O,因为BC
平面SDC,
所以平面ABCD平面SDC,故SO
平面ABCD
以点O为原点,建立坐标系如图.
则S(0,0,),C(0,
,0), A(2,-
,0),B(2,
,0)
设E(2,y,0),因为
所以 即E((2,
,0)
令
,则
,
,令
,则
,
所以所求二面角的正弦值为
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