题目内容
【题目】已知函数.
(1)求证:对任意实数,都有
;
(2)若,是否存在整数
,使得在
上,恒有
成立?若存在,请求出
的最大值;若不存在,请说明理由.(
)
【答案】(1)见证明;(2)见解析
【解析】
(1)利用导数求得
,令
,再利用导数即可求得
,问题得证。
(2)整理得:
,令:
,由
得
,对
是否大于
分类, 当
时,即
时,利用导数即可证得
,当
时,利用导数即可求得
,要使不等式
恒成立转化成
成立,令
,利用导数即可求得
,
,即可求得
,问题得解。
解:(1)证明:由已知易得,所以
令得:
显然,时,
<0,函数f(x)单调递减;
时,
>0,函数f(x)单调递增
所以
令,则由
得
时,
>0,函数t(
)单调递增;
时,
<0,函数t(
)单调递减
所以,即结论成立.
(2)由题设化简可得
令,所以
由=0得
①若,即
时,在
上,有
,故函数
单调递增
所以
②若,即
时,
在上,有
,故函数
在
上单调递减
在上,有
.故函数
在
上单调递增
所以,在上,
故欲使,只需
即可
令
由得
所以,时,
,即
单调递减
又
故
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备
生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | |
直径/mm | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值.
(I)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行判定(
表示相应事件的概率):①
;②
;③
.判定规则为:若同时满足上述三个式子,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为丁.试判断设备
的性能等级.
(Ⅱ)将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”,将直径尺寸在
之外的零件认定为“突变品”.从样本的“次品”中随意抽取两件,求至少有一件“突变品”的概率.