题目内容
【题目】已知圆:
,点
是直线
:
上的一动点,过点
作圆M的切线
、
,切点为
、
.
(Ⅰ)当切线PA的长度为时,求点
的坐标;
(Ⅱ)若的外接圆为圆
,试问:当
运动时,圆
是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)求线段长度的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)AB有最小值
【解析】
试题(Ⅰ)求点的坐标,需列出两个独立条件,根据解方程组解:由点是直线
:
上的一动点,得
,由切线PA的长度为
得
,解得
(Ⅱ)设P(2b,b),先确定圆
的方程:因为∠MAP=90°,所以经过A、P、M三点的圆
以MP为直径,其方程为:
,再按b整理:
由
解得
或
,所以圆过定点
(Ⅲ)先确定直线
方程,这可利用两圆公共弦性质解得:由圆
方程为
及 圆
:
,相减消去x,y平方项得圆
方程与圆
相交弦AB所在直线方程为:
,相交弦长即:
,当
时,AB有最小值
试题解析:(Ⅰ)由题可知,圆M的半径r=2,设P(2b,b),
因为PA是圆M的一条切线,所以∠MAP=90°,
所以MP=,解得
所以4分
(Ⅱ)设P(2b,b),因为∠MAP=90°,所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径,
其方程为:
即
由, 7分
解得或
,所以圆过定点
9分
(Ⅲ)因为圆方程为
即①
圆:
,即
②
②-①得圆方程与圆
相交弦AB所在直线方程为:
11分
点M到直线AB的距离13分
相交弦长即:
当时,AB有最小值
16分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目