题目内容
(本小题满分12分)设椭圆焦点坐标为F1(-c,0), F2(c,0),点Q是椭圆短轴上的顶点,且满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B是圆与与y轴的交点,是椭圆上的任一点,求的最大值.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B是圆与与y轴的交点,是椭圆上的任一点,求的最大值.
(1)
(2)21
解:(1), …………………………2分
故a2=8+8=16,故椭圆方程为:. …………………………4分
(2)令x=0,得y=3或y=1.故A(0,3),B(0,1).…………………………5分
设P(x,y),则=(-x,3-y)·(-x,1-y)="x2+(3-y)(1-y)=" x2+y2-4y+3.…………7分
又,故x2="16-2" y2. …………………………8分
所以="16-2" y2+y2-4y+3=-2(y+1)2+21 …………………………10分
又,故y=-1时,取最大值21.…………………………12分
故a2=8+8=16,故椭圆方程为:. …………………………4分
(2)令x=0,得y=3或y=1.故A(0,3),B(0,1).…………………………5分
设P(x,y),则=(-x,3-y)·(-x,1-y)="x2+(3-y)(1-y)=" x2+y2-4y+3.…………7分
又,故x2="16-2" y2. …………………………8分
所以="16-2" y2+y2-4y+3=-2(y+1)2+21 …………………………10分
又,故y=-1时,取最大值21.…………………………12分
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