题目内容
(本小题满分12分)
已知直线
过椭圆
的右焦点
,抛物线:
的焦点为椭圆
的上顶点,且直线
交椭圆
于
、
两点,点
、
、
在直线
上的射影依次为点
、
、
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若直线l交y轴于点
,且
,当
变化时,探求
的值是否为定值?若是,求出
的值,否则,说明理由;
(3)连接
、
,试探索当
变化时,直线
与
是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.
已知直线
















(1)求椭圆

(2)若直线l交y轴于点





(3)连接





(1)

(2)

(3)

解:(Ⅰ)易知椭圆右焦点
∴
,
抛物线
的焦点坐标


椭圆
的方程
(Ⅱ)易知
,且
与
轴交于
,
设直线
交椭圆于
由
∴
∴
又由
同理
∴
∵
∴
所以,当
变化时,
的值为定值
;
(Ⅲ)先探索,当
时,直线
轴,
则
为矩形,由对称性知,
与
相交
的中点
,且
,
猜想:当
变化时,
与
相交于定点
证明:由(Ⅱ)知
,∴
当
变化时,首先证直线
过定点
,
方法1)∵
当
时,


∴点
在直线
上,
同理可证,点
也在直线
上;
∴当
变化时,
与
相交于定点
方法2)∵
,


∴
,∴
、
、
三点共线,同理可得
、
、
也三点共线;
∴当
变化时,
与
相交于定点


抛物线







(Ⅱ)易知




设直线


由

∴

∴

又由



∴

∵

∴

所以,当



(Ⅲ)先探索,当


则






猜想:当




证明:由(Ⅱ)知


当



方法1)∵

当




∴点


同理可证,点


∴当




方法2)∵




∴







∴当





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