题目内容

(本小题满分12分)
已知直线过椭圆的右焦点,抛物线:的焦点为椭圆的上顶点,且直线交椭圆两点,点 在直线上的射影依次为点
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线ly轴于点,且,当变化时,探求的值是否为定值?若是,求出的值,否则,说明理由;
(3)连接,试探索当变化时,直线是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

(1)
(2)
(3)
解:(Ⅰ)易知椭圆右焦点
抛物线的焦点坐标
椭圆的方程
(Ⅱ)易知,且轴交于
设直线交椭圆于



又由
  同理

∵               

所以,当变化时, 的值为定值
(Ⅲ)先探索,当时,直线轴,
为矩形,由对称性知,相交的中点,且
猜想:当变化时,相交于定点
证明:由(Ⅱ)知,∴
变化时,首先证直线过定点
方法1)∵
时,

∴点在直线上,
同理可证,点也在直线上;
∴当变化时,相交于定点
方法2)∵


,∴三点共线,同理可得也三点共线;
∴当变化时,相交于定点
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