题目内容
(本小题满分13分)已知数列.如果数列满足,,其中,则称为的“衍生数列”.
(Ⅰ)写出数列的“衍生数列”;
(Ⅱ)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:;
(Ⅲ)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,….依次将数
列,,,…的首项取出,构成数列.证明:是等差数列.
(Ⅰ)写出数列的“衍生数列”;
(Ⅱ)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:;
(Ⅲ)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,….依次将数
列,,,…的首项取出,构成数列.证明:是等差数列.
(Ⅰ)解:. ………………3分
(Ⅱ)证明: 因为 ,
,
,
……
,
由于为偶数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,相加得
即,. ………………8分
(Ⅲ)证明:对于数列及其“衍生数列”,
因为 ,
,
,
……
,
由于为奇数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,
相加得
即.
设数列的“衍生数列”为,
因为 ,,
所以 , 即成等差数列. ………………12分
同理可证,也成等差数列.
从而是等差数列. ………………13分
(Ⅱ)证明: 因为 ,
,
,
……
,
由于为偶数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,相加得
即,. ………………8分
(Ⅲ)证明:对于数列及其“衍生数列”,
因为 ,
,
,
……
,
由于为奇数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,
相加得
即.
设数列的“衍生数列”为,
因为 ,,
所以 , 即成等差数列. ………………12分
同理可证,也成等差数列.
从而是等差数列. ………………13分
略
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