题目内容
如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
⊥AC，M是
的中点，N是BC的中点，点P在直线
上，且满足
.
（1）当
取何值时，直线PN与平面ABC所成的角
最大？
（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为
，试确定点P的位置.
的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线 上，且满足.（1）当
取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为
，试确定点P的位置.（1）
（2）
（2）本试题主要考查了立体几何中线面角以及二面角的求解和运用。
解：（1）以AB,AC,
分别为
轴，建立空间直角坐标系
，则
，平面ABC的一个法向量为
…………2分
则
…………………5分
于是问题转化为二次函数求最值，而
当最大时，
最大，所以当
时，.…………………7分
（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为
，即可得到平面ABC的一个法向量为
，设平面PMN的一个法向量为
，
.
由
得
，…………………9分
解得
.…………………10分
令
于是由
，……………13分
解得
的延长线上，且.
解：（1）以AB,AC,
分别为轴，建立空间直角坐标系，则，平面ABC的一个法向量为…………2分则
…………………5分于是问题转化为二次函数求最值，而
当最大时，最大，所以当时，.…………………7分（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为
，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，.由
得 ，…………………9分解得
.…………………10分令
于是由，……………13分解得
的延长线上，且.
练习册系列答案
口算小状元口算速算天天练系列答案
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中，
⊥平面
，求BM的最小值.
中，底面
为等腰直角三角形，
，
为棱
上一点，且平面
平面
.
和
的体积是否相等，并证明。
中，已知
，
，且
，连接
．
平面
；
为正方形．
，求AB1与C1B所成角的大小。