Question

（本小题满分14分）
市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11．8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0<p<100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p
应为多少？

Answer 1

（Ⅰ）所求函数为y=（11．8－p）p，由11．8－p>0及p>0得定义域为0<p<11．8
（Ⅱ）2≤p≤10．当税率在[0．02，0．1]内时，税收不少于16万元．
（Ⅲ）当税率为2%时，厂家销售金额最大．

解：依题意，第二年该商品年销售量为（11．8－p）万件，
年销售收入为（11．8－p）万元，
政府对该商品征收的税收y=（11．8－p）p%（万元）
故所求函数为y=（11．8－p）p
由11．8－p>0及p>0得定义域为0<p<11．8………………4分
（II）解：由y≥16得（11．8－p）p≥16
化简得p²－12p+20≤0，即（p－2）（p－10） ≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0．02，0．1]内时，税收不少于16万元． ………………9分
（III）解：第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）= （11．8－p）（2≤p≤10）
在[2，10]是减函数
∴g（p）_max=g（2）=800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大． ………………14分