题目内容
5．求函数y=x2+2x+3在[a，2+a]上的值域．分析 结合二次函数的图象及二次函数的性质，按对称轴与区间分4种情况讨论求函数的值域．
解答 解：函数y=x2+2x+3的图象的对称轴为x=-1，开口向上；
①当2+a≤-1，即a≤-3时，
y=x2+2x+3在[a，2+a]上单调递减，
故（a+2）2+2（a+2）+3≤y≤a2+2a+3，
即a2+6a+11≤y≤a2+2a+3，
即函数y=x2+2x+3在[a，2+a]上的值域为[a2+6a+11，a2+2a+3]；
②当a+1≤-1＜2+a，即-3＜a≤-2时，
结合二次函数的性质知，
（-1）2+2•（-1）+3≤y≤a2+2a+3，
即2≤y≤a2+2a+3，
即函数y=x2+2x+3在[a，2+a]上的值域为[2，a2+2a+3]；
③当a≤-1＜a+1，即-2＜a≤-1时，
结合二次函数的性质知，
（-1）2+2•（-1）+3≤y≤a2+6a+11，
即2≤y≤a2+2a+3，
即函数y=x2+2x+3在[a，2+a]上的值域为[2，a2+6a+11]；
④当a＞-1时，
y=x2+2x+3在[a，2+a]上单调递增，
故a2+2a+3≤y≤（a+2）2+2（a+2）+3，
即a2+2a+3≤y≤a2+6a+11，
即函数y=x2+2x+3在[a，2+a]上的值域为[a2+2a+3，a2+6a+11]．
点评 本题考查了二次函数的值域的求法及分类讨论的思想应用，属于中档题．
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