Question

13．求证：在二次函数f（x）=ax²+bx+x中，若x₁≠x₂，则使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要条件是“a＞0”

Answer 1

分析 结合函数的凸凹性，结合二次函数的图象和性质及充要条件的定义，可得结论．

解答 证明：在二次函数f（x）=ax²+bx+x中，若x₁≠x₂，
当“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”时，函数为凹函数，即“a＞0”成立，
当“a＞0”时，函数为凹函数，“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”，
故在二次函数f（x）=ax²+bx+x中，若x₁≠x₂，则使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要条件是“a＞0”

点评 本题考查了充分必要条件的判断，属于基本题型，理解充分必要条件的概念是解决本题的关键．