题目内容
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．
（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD1C1，DE?侧面CDD1C1，
∴DE⊥BC，（3分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=
a，则有CD2=CE2+DE2，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，（6分）
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O，
∵EF
A1C1，AO
A1C1，
∴四边形AOEF是平行四边形，（10分）
∴AF∥OE（11分）
又∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（14分）
∴DE⊥BC，（3分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=
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∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，（6分）
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O，
∵EF
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| . |
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| 2 |
∴四边形AOEF是平行四边形，（10分）
∴AF∥OE（11分）
又∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（14分）
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