题目内容

如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BE;
(2)设M在线段AB上,且满足AM=3MB,线段CE上是否存在一点N,使得MN平面DAE?若存在,求出CN的长;若不存在,说明理由.
(1)证明:∵AD⊥平面ABE,ADBC
∴BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE,∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B,
∴AE⊥平面BCE,
∵BE?平面BCE,∴AE⊥BE;
(2)存在CN=
1
4
CE,使得MN平面DAE.
在△ABE中过M点作MGAE交BE于G点,在△BEC中过G点作GNBC交EC于N点,连MN,
∵AM=3MB,∴CN=
1
4
CE
∵MGAE,MG?平面ADE,AE?平面ADE,∴MG平面ADE
同理可证,GN平面ADE,
∵MG∩GN=G,∴平面MGN平面ADE
又∵MN?平面MGN,∴MN平面ADE,
∵EB=BC=2,∴CE=2
2

∴CN=
2
2
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