题目内容

2.在△ABC中,AB=4$\sqrt{6}$,cosB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,AC边上的中线BD=3$\sqrt{5}$,则sinA=$\frac{\sqrt{70}}{14}$.

分析 通过充分利用D是中点,构造新三角形,在新三角形中解出BC的一半求出BC,再由余弦定理求边AC,下则可用正弦定理求出sinA.

解答 解:设E为BC的中点,连接DE,则DE∥AB,且DE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{6}$,设BE=x.
由DE∥AB可得出∠BED=π-∠B,即cos∠BED=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$
在△BDE中利用余弦定理可得:BD2=BE2+ED2-2BE•EDcos∠BED,45=x2+24+2×2$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{6}$x,
解得x=3,x=-7(舍去).
故BC=6,从而AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB=88,即AC=2$\sqrt{21}$
又sinB=$\frac{\sqrt{30}}{6}$,故$\frac{6}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{30}}{6}}$,sinA=$\frac{\sqrt{70}}{14}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{70}}{14}$.

点评 解三角形的特征是把题目中所给的条件全部集合到一个三角形中,依次解出边、角,达到解三角形的目的.

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