题目内容

11.已知二次函数f(x)=x2,数列{an}的前n项和为sn,点(n,sn)均在函数y=f(x)的图象上.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn},bn=an.2n,Tn是数列{bn}的前n项和,求Tn

分析 (1)由点(n,sn)均在函数y=f(x)的图象上.可得Sn=n2.利用递推式可得an
(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.

解答 解:(1)∵点(n,sn)均在函数y=f(x)的图象上.
∴Sn=n2
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
当n=1时上式也成立,
∴an=2n-1 (n∈N*).
(2)由(1)得知:bn=an.2n=(2n-1)•2n
故Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n
∴2Tn=22+3×23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)×2n+1
两式相减的:-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1
=$\frac{4×({2}^{n}-1)}{2-1}$-2-(2n-1)×2n+1=(3-2n)×2n+1-6,
∴Tn=6+(2n-3)×2n+1

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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