题目内容

14.设函数f(x)=$\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}$+tanθ,则f′(1)取值范围[-2,2].

分析 先根据导数的运算法则求导,再代入值,根据三角函数的和差公式以及正弦函数的性质即可求出.

解答 解:函数f(x)=$\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}$+tanθ,
∴f′(x)=x2sinθ+$\sqrt{3}$xcosθ,
∴f′(1)=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2($\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ)=2sin(θ+$\frac{π}{3}$),
∵-1≤sin(θ+$\frac{π}{3}$)≤1,
∴-2≤f′(1)≤2,
故f′(1)取值范围为[-2,2].
故答案为:[-2,2].

点评 本题考查了导数的运算和三角形函数的和差公式和性质,属于基础题.

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