Question

7．过原点的直线与圆x²+y²-6x+5=0相交于A，B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为（　　）

• A． x²+y²+3x=0
• B． x²-y²-3x=0
• C． x²-y²+3x=0
• D． x²+y²-3x=0

Answer 1

分析 根据圆的特殊性，设圆心为C，则有CM⊥AB，当斜率存在时，k_CMk_AB=-1，斜率不存在时加以验证．

解答 解：设圆x²+y²-6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，
①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，则有k_CMk_AB=-1，
∴$\frac{y}{x-3}•\frac{y}{x}=-1$（x≠3，x≠0），
化简得x²+y²-3x=0（x≠3，x≠0），
②当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，
③当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-3x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-6x+5=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{5}{3}$，y=$±\frac{2}{3}\sqrt{5}$，
∴点M的轨迹方程是x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}＜x≤3$）．
故选：D．

点评 本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．