题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
分别为左右焦点，
是椭圆
上点，且
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过
的直线
与椭圆交于不同的两点
，则
的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值以及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，
，
.
【解析】
（1）根据椭圆定义和勾股定理可构造方程组得到
，结合离心率和椭圆
关系可求得的值，进而得到椭圆方程；
（2）由等面积法可得
，设
，与椭圆方程联立得到韦达定理形式，利用韦达定理表示出
，得到
；根据分式型函数最值的求解方法可求得
，进而得到内切圆面积的最大值，同时确定直线方程.
（1）由题意可知：
，
，
由
得：
，
，
椭圆
的方程为：.
（2）设
，
内切圆半径为
.
由等面积法可得：
，于是.
由题意可知
不可能是
轴，故可设直线方程为：
，
联立
得：
，
，
.
令
，则
，
，当
时，
取得最小值
，
，
内切圆的面积的最大值为：
，
此时
，则直线方程为.
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