Question

【题目】已知函数f（x）=x2-（a+1）x+alnx+1

（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；

（Ⅱ）求a的范围，使得f（x）≥1恒成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极大值为；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由于x=3是f（x）的极值点，则f′（3）=0求出a，进而求出f′（x）＞0得到函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；

（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0时，恒成立，设，求得其导函数，分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值大于等于0，即可得到a的范围．

解：（Ⅰ）

∵x=3是f（x）的极值点，∴，解得a=3

当a=3时，，

当x变化时，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

f（x）的极大值为；

（Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0时，恒成立，

设，则，

（ⅰ）当a≤0时，由g′（x）＜0得单减区间为（0，1），由g′（x）＞0得单增区间为（1，+∞），

故，得；

（ii）当0＜a＜1时，由g′（x）＜0得单减区间为（a，1），由g′（x）＞0得单增区间为（0，a），（1，+∞），此时，∴不合题意；

（iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单增，，∴不合题意；

（iv）当a＞1时，由g′（x）＜0得单减区间为（1，a），由g′（x）＞0得单增区间为（0，1），（a，+∞），此时，∴不合题意．

综上所述：时，f（x）≥1恒成立．