题目内容
【题目】已知椭圆E：
（
）的离心率是
，
，
分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，
的面积为2.直线l过点
且与椭圆E交于P，Q两点（P，Q异于，）
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求
的面积最大值；
（3）设直线
与直线
的斜率分别为
，
，求证：
为常数，并求出这个常数.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析；
【解析】
（1）由离心率得
，由三角形面积得
，结合
可求得
得椭圆方程；
（2）设直线l：
交椭圆于
，
，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得
，代入
，然后可换元：设
后用函数的单调性求得最值；
（3）计算
，注意由（2）还可得
，即
，代入可得常数．
解：（1）设椭圆的焦距为
（
），因为
，
所以
，
，
，
所以椭圆的标准方程为
（2）设直线l：交椭圆于，，
联立
，化简得
，
由根与系数关系得
所以
，
令，
，故
，
当
，
单调递增，故
时，
最大值为；
（3）证：因为
，
由第（2）问知，即
将其代入上式
得
为常数，即证
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