题目内容
3.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析每一辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系是y=-3(x-6)2+33(x∈N*).(Ⅰ)当营运年数x在什么范围内时,每辆客车营运的总利润不少于21万元?
(Ⅱ)当每辆客车营运多少年时,其营运的年平均利润最大?
(注:年平均利润=$\frac{营运总利润}{营运年数}$)
分析 (Ⅰ)由题意可得-3(x-6)2+33≥21,运用二次不等式的解法,即可得到x的范围;
(Ⅱ)欲使营运年平均利润最大,即求$\frac{y}{x}$的最大值,故先表示出此式,再结合基本不等式即可求其最大值.
解答 解:(Ⅰ)由题意可得-3(x-6)2+33≥21,即为(x-6)2≤4,解得4≤x≤8,
则营运年数x∈[4,8](x∈N*).
(Ⅱ)每辆客车营运年平均利润为$\frac{y}{x}$=$\frac{-3(x-6)^{2}+33}{x}$=-3(x+$\frac{25}{x}$)+36,
由x>0,可得x+$\frac{25}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{25}{x}}$=10,
当且仅当x=$\frac{25}{x}$时等号成立.解得x=5.
故$\frac{y}{x}$≤-3×10+36=6,
即每辆客车营运5年,可使其营运年平均利润最大.
点评 本小题主要考查二次函数的性质、基本不等式在最值问题中的应用、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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