Question

8．极限$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{n}{\sum_{i=1}^{n}e}^{\frac{i}{n}}$的值为e-1．

Answer 1

分析 结合几何意义，将原式转化为定积分${∫}_{0}^{1}e^xdx$是解决本题的关键．

解答 解：构造函数f（x）=e^x，x∈[0，1]，
将区间[0，1]进行n等分，每份的宽度为$\frac{1}{n}$，
函数f（x）的图象在[0，1]上与x轴围成“曲边梯形”面积的近似值为：
S_n=$\frac{1}{n}$[${e}^{\frac{1}{n}}$+${e}^{\frac{2}{n}}$+${e}^{\frac{3}{n}}$+…+${e}^{\frac{n}{n}}$]（该式为剩余近似值），
所以，原式=$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$[$\frac{1}{n}$（${e}^{\frac{1}{n}}$+${e}^{\frac{2}{n}}$+${e}^{\frac{3}{n}}$+…+${e}^{\frac{n}{n}}$）]=${∫}_{0}^{1}e^xdx$=e-1．
故填：e-1．

点评 本题主要考查了极限及其运算，涉及定积分的几何意义，充分体现数形结合与转化思想，属于中档题．