Question

13．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，E是CC₁的中点，F是CE的中点，F是CE的中点．
（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）求证：A₁C⊥平面BDF；
（3）求三棱锥F-A₁BD的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD交于点O，连结OF，推导出OF∥AE，由此能证明AE∥平面BDF．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁C⊥平面BDF．
（3）求出平面BDF₁的法向量和点A₁到平面DBA₁的距离，由${V}_{F-{A}_{1}BD}={V}_{{A}_{1}-BDF}$利用等体积法能求出三棱锥F-A₁BD的体积．

解答 （1）证明：连结AC、BD交于点O，连结OF，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，
∴O是AC中点，又F是CE中点，∴OF∥AE，
∵AE?平面BDF，OF?平面BDF，
∴AE∥平面BDF．
（2）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C₁（0，2，4），B（2，2，0），
D（0，0，0），F（0，2，1），A₁（2，0，4），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，4），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DB}$=-4+4=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DF}$=0+4-4=0，
∴A₁C⊥DB，A₁C⊥DF，
又DB∩DF=D，∴A₁C⊥平面BDF．
（3）解：$\overrightarrow{D{A}_{1}}$（2，0，4），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，1），
设平面BDF₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
点A₁到平面DBA₁的距离d=|$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2+8}{\sqrt{6}}$|=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
O（1，1，0），$\overrightarrow{OF}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{BD}$=-2+2=0，∴OF⊥BD，
∵|$\overrightarrow{OF}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}×BD×OF$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
∴三棱锥F-A₁BD的体积：
${V}_{F-{A}_{1}BD}={V}_{{A}_{1}-BDF}$=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△BDF}$=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{6}}{3}×\sqrt{6}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．