题目内容
15．（1）已知a＞1，求证：$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$．（2）求证：a2+b2≥ab+a+b-1．
分析 （1）利用分析法即可证明结论；
（2）欲证明a2+b2≥ab+a+b-1，利用比较法，只须证明（a2+b2）-（ab+a+b-1）＞0即可，故先作差后因式分解后与0比较即可．
解答 证明：（1）要证$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$，
只需证（$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$）2＜（2$\sqrt{a}$）2，
只需证$\sqrt{{a}^{2}-1}$＜a，
只需证a2-1＜a2，
a2-1＜a2，显然成立；（6分）
（2）（a2+b2）-（ab+a+b-1）
=$\frac{1}{2}$（2a2+2b2-2ab-2a-2b+2）
=$\frac{1}{2}$[（a2-2ab+b2）+（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]
=$\frac{1}{2}$[（a-b）2+（a-1）2+（b-1）2]≥0，
∴a2+b2≥ab+a+b-1．（12分）
点评 本题考查不等式的证明，考查比较法、分析法的运用，属于中档题．
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