题目内容
7．设x，y∈R，2x2+3y2=6，求x2+y2+8x的最大值和最小值．分析 由题意三角换元可得x=$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{2}$sinθ，由三角函数和二次函数区间的最值可得．
解答 解：∵2x2+3y2=6，∴$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴x=$\sqrt{3}$cosθ，y=$\sqrt{2}$sinθ，
∴x2+y2+8x=3cos2θ+2sin2θ+8$\sqrt{2}$sinθ
=3（1-sin2θ）+2sin2θ+8$\sqrt{2}$sinθ
=-sin2θ+8$\sqrt{2}$sinθ+3
=-（sinθ-4$\sqrt{2}$）2+35，
由二次函数可知当sinθ∈[-1，1]时，上式单调递增，
∴当sinθ=1时，上式取最大值8$\sqrt{2}$+2；
当sinθ=-1时，上式取最小值-8$\sqrt{2}$+2
点评 本题考查函数的最值，三角换元并利用三角函数和二次函数的性质是解决问题关键，属基础题．
练习册系列答案
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17．若$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3}$，$\overrightarrow b=\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}-\overrightarrow{e_3}$，$\overrightarrow c=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow d=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_3}$（$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow{e_3}$为空间的一个基底）且$\overrightarrow{d}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$+z$\overrightarrow{c}$，则x，y，z分别为（ ）
| A． | $\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-1 | B． | $\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$，1 | C． | -$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$，1 | D． | $\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1 |
18．已知$x∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，则（1-2x）x2（1+2x）的最大值为（ ）
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{8}$ | C． | $\frac{1}{16}$ | D． | $\frac{1}{32}$ |
12．已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，点P为双曲线上一点，且sin∠PF1F2=$\frac{3}{5}$，若线段PF1的垂直平分线恰好经过F2，则双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\frac{4}{3}$ | B． | $\frac{5}{3}$ | C． | $\frac{16}{5}$ | D． | $\frac{6}{5}$ |
19．已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{19}{27}$ | C． | $\frac{20}{27}$ | D． | $\frac{7}{9}$ |