Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，﹣2)，B(4，0)，圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率为k的直线l经过点B．

（1）求圆C的标准方程；

（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝，求点P的坐标；

（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(3，﹣2)或(，)；（3）或．

【解析】

（1）设圆的一般方程，将三个点坐标代入，即得结果,再配方化为标准方程；

（2）设P(x，y)，根据切线长以及两点间距离公式列方程，再根据点P在直线上。联立方程组解得结果；

（3）根据垂径定理列出以MN为直径的圆上点满足的条件（一个实心圆），再根据直线与圆位置关系列不等式解得结果.

（1）设圆C的方程为，

因为圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)

所以，解得，

所以圆C的方程为：，其标准方程为，

（2）设P(x，y)，由PQ与圆C切于点Q，得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝PA，

所以，整理得，

又点P在直线l：上，

由，得或

所以P(3，﹣2)或(，)，

（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T是该圆上任意一点

则K为MN中点，设CK＝d，则圆K的半径为

因为，所以，

因为M，N是圆C上任意两个不同的点，所以d∈[0，)，

对于任意d∈[0，)，，所以0≤CT2≤4，

故点T总在以C(﹣1，0)为圆心，2为半径的圆上或其内部，

故直线l：y＝k(x﹣4)，即kx﹣y﹣4k＝0，与该圆无公共点，

所以，解得或．