题目内容
【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的极值点;
(2)若,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,无极值点;当
时,极值点为
;当
且
时,极值点为
和
;(2)
.
【解析】
(1)先求出函数的导数,讨论
、
、
且
即可求出函数的极值点;
(2)由题意可将,
恒成立转化为
时,
恒成立,然后构造函数
,分
,
与两种情况讨论,分别用导数的方法研究其在
上的单调性和值域,即可筛选出符合题意的
的取值范围.
(1),
当时,
,故无极值点;
当时,函数
只有一个极值点,极值点为
;
当且
时,函数
有两个极值点,分别为
和
.
(2),依题意,当
时,
,
即当时,
.
设,则
.
设,则
.
①当时,
,
,从而
(当且仅当
时,等号成立),
在
上单调递增.
又,
当
时,
,从而当
时,
,
在
上单调递减,又
,
从而当时,
,即
,
于是当时,
.
②当时,令
,得
,
.
故当时,
,
在
上单调递减.
又,
当
时,
,从而当
时,
,
在
上单调递增,又
,
从而当时,
,即
,
于是当时,
,不符合题意.
综上所述:实数的取值范围为
.

练习册系列答案
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