题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)试讨论的单调性;
(Ⅱ)记的零点为
,
的极小值点为
,当
时,求证
.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)对函数f(x)求导,分和a<0进行讨论,可得函数单调性;(Ⅱ)对函数g(x)求导,分析
单调性,由零点存在性定理可确定
的零点即
极小值点
,从而得到a与
的等量关系,将等量关系代入
中,利用函数f(x)的单调性即可得到证明.
解:(Ⅰ)
.
若,则
,
在
上单调递增;
若,则
必有一正一负两根,且正根为
.
当,
,
在
上单调递增;
当,
,
在
上单调递减.
综上可知,当时,
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ),
,
所以在
单调递增.
又,
,
故存在零点
,且
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
即为的
极小值点,
故.
由知,
,
所以
,
又,所以
.
由(Ⅰ)可知,时,
在
单调递增,
因此.
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