题目内容
7．已知向量$\overrightarrow m$=$（{cosx，cos（{x+\frac{π}{6}}）}），\overrightarrow n$=$（{\sqrt{3}$sinx+cosx，2sinx}），且满足f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a=2，f（$\frac{A}{2}$）=2，求△ABC面积的最大值．
分析 （Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=2，根据第一问确定出的f（x）解析式，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．
解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+2cos（x+$\frac{π}{6}$）sinx=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得到-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∵A为三角形内角，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即4=b2+c2-2bc×$\frac{1}{2}$=b2+c2-bc≥bc，即bc≤4（当且仅当b=c时成立），
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×bc•sin$\frac{π}{3}$≤$\sqrt{3}$，
则△ABC面积为最大值为$\sqrt{3}$．
点评 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
期末集结号系列答案
如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2
已知点F（0，1），直线l1：y=-1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．| A． | $\frac{1+i}{2}$ | B． | $\frac{1-i}{2}$ | C． | $\frac{-1+i}{2}$ | D． | $\frac{-1-i}{2}$ |
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | （2+ln2，e） | B． | （e，2+ln3） | C． | （2+ln2，3） | D． | （3，2+ln3） |
已知点P（1，3），Q（1，2）．设过点P的动直线与抛物线y=x2交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为C，D．记直线AB，CD的斜率分