Question

17．如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2
（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角F-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C为坐标原点，以CB、CE、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，通过$\overrightarrow{CD}$与平面CDE的一个法向量的数量积为0，即得结论；
（Ⅱ）所求值即为平面FAE的法向量与平面AED的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：以C为坐标原点，以CB、CE、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意可得C（0，0，0），A（2，0，4），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F（2，2，0），
∴$\overrightarrow{CD}$=（0，0，4），易得$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面CDE的一个法向量，
∵$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{m}$=（0，0，4）•（1，0，0）=0，
∴AF∥平面CDE；
（Ⅱ）解：由（I）得$\overrightarrow{AF}$=（0，2，-4），$\overrightarrow{AE}$=（-2，4，-4），$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，0），
设平面FAE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2y-4z=0}\\{-2x+4y-4z=0}\end{array}\right.$，
取y=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
设平面AED的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4y-4z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{0+2+1}{\sqrt{4+4+1}•\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角F-AE-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查空间中线面平行的判定，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．