Question

15．已知点F（0，1），直线l₁：y=-1，直线l₁⊥l₂于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l₂于点H．设点H的轨迹为曲线r．
（Ⅰ）求曲线r的方程；
（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，
（ⅰ）求证：直线CD过定点；
（ⅱ）若P（1，-1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意推出|HF|=|HP|，利用抛物线定义，求解点H的轨迹方程．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x₁，-1），切点C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）．求出函数的导数，推出切线方程，然后求出直线CD的方程，说明直线CD过定点．
（ⅱ）求出直线CD的方程为$\frac{1}{2}x-y+1=0$．设l：y+1=k（x-1），求得x_Q=$\frac{4+2k}{2k-1}$，设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．
联立y+1=k（x-1）与x²=4y，利用韦达定理，化简$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$推出定值．

解答 满分（13分）．
解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，
∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l₁：y=-1的距离相等，…（2分）
∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l₁：y=-1为准线的抛物线，…（3分）
∴点H的轨迹方程为x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x₁，-1），切点C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）．
由y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，得$y′=\frac{1}{2}x$．
∴直线PC：y+1=$\frac{1}{2}$x_C（x-x₁），…（5分）
又PC过点C，y_C=$\frac{1}{4}{{x}_{C}}^{2}$，
∴y_C+1=$\frac{1}{2}$x_C（x-x₁）=$\frac{1}{4}{{x}_{C}}^{2}$$-\frac{1}{2}$x_Cx₁，
∴y_C+1=${2{y}_{C}-\frac{1}{2}x}_{C}{x}_{1}$，即$\frac{1}{2}{x}_{C}{x}_{1}-{y}_{C}+1=0$．…（6分）
同理$\frac{1}{2}{x}_{D}{x}_{1}-{y}_{D}+1=0$，
∴直线CD的方程为$\frac{1}{2}x{x}_{1}-y+1=0$，…（7分）
∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，-1）在直线CD的方程为$\frac{1}{2}x{x}_{1}-y+1=0$，
得x₁=1，直线CD的方程为$\frac{1}{2}x-y+1=0$．
设l：y+1=k（x-1），
与方程$\frac{1}{2}x-y+1=0$联立，求得x_Q=$\frac{4+2k}{2k-1}$．…（9分）
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．
联立y+1=k（x-1）与x²=4y，得
x²-4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得
x_A+x_B=4k．x_Ax_B=4k+4…（10分）
∵x_Q-1，x_A-1，x_B-1同号，
∴$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$=|PQ|$（\frac{1}{\left|PA\right|}+\frac{1}{\left|PB\right|}）$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{Q}-1|$$•\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}（\frac{1}{|{x}_{A}-1|}+\frac{1}{|{x}_{B}-1|}）$
=$|{x}_{Q}-1|（\frac{1}{|{x}_{A}-1|}+\frac{1}{|{x}_{B}-1|}）$…（11分）
=$（\frac{4+2k}{2k-1}-1）•\frac{{x}_{A}{+x}_{B}-2}{{（x}_{A}-1）{（x}_{B}-1）}$
=$\frac{5}{2k-1}•\frac{4k-2}{5}=2$，
∴$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$为定值，定值为2．…（13分）

点评 本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．