Question

10．在（1+x+$\frac{1}{{{x^{2015}}}}}）^{10}}$）¹⁰的展开式中，x²项的系数为45（结果用数值表示）．

Answer 1

分析 先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x²项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．

解答 解：∵（1+x+$\frac{1}{{{x^{2015}}}}}）^{10}}$）¹⁰ =${C}_{10}^{0}（1+x）^{10}•（\frac{1}{{x}^{2015}}）^{0}+$${C}_{10}^{1}（1+x）^{9}•（\frac{1}{{x}^{2015}}）^{1}+…$，
∴仅在第一部分中出现x²项的系数．
再由${T}_{r+1}={C}_{10}^{r}{x}^{r}$，令r=2，可得，
x²项的系数为${C}_{10}^{2}=45$．
故答案为：45．

点评 本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．