题目内容

10.已知函数f(x)=(x-1)ex-x2
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)求函数f(x)在区间[0,k](k>0)上的最大值.

分析 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程;
(2)求出导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间;
(3)求出导数,由单调区间,讨论k的范围,当0<k≤ln2时,当ln2<k≤1时,当k>1时,通过单调区间,即可得到最大值.

解答 解:(1)函数f(x)=(x-1)ex-x2的导数为f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x,
则在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=e-2,
切点为(1,-1),则切线方程为y+1=(e-2)(x-1),
即为(e-2)x-y-e+1=0;
(2)函数f(x)=(x-1)ex-x2的导数为f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x,
由f′(x)=0,解得x=ln2或x=0,
当x>ln2或x<0时,f′(x)>0,f(x)递增;
当0<x<ln2时,f′(x)<0,f(x)递减.
即有f(x)的增区间为(-∞,0),(ln2,+∞);减区间为(0,ln2);
(3)由(2)得当0<k≤ln2,f(x)在[0,k]递减,即有f(0)取得最大,且为-1;
当k>ln2时,f(x)在[0,ln2)递减,在[ln2,k]递增,
由f(k)-f(0)=(k-1)(ek-k-1),且g(x)=ex-x-1的导数为g′(x)=ex-1,
易得g(x)的最小值为g(0)=0,即有ex-x-1≥0,
当ln2<k≤1时,f(k)≤f(0),即有f(0)取得最大,且为-1;
当k>1时,f(k)>f(0),即有f(k)取得最大值,且为(k-1)ek-k2
综上可得,当0<k≤1时,f(x)的最大值为-1;
当k>1时,f(x)的最大值为(k-1)ek-k2

点评 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,主要考查导数的几何意义和单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.

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