Question

动点的坐标在其运动过程中
总满足关系式.
（1）点的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；
（2）已知直线与的轨迹交于A、B两点，且OA⊥OB(O为原点)，求 的值.

Answer 1

（1）（6分）椭圆：
（2） 

分析：（1）根据，可得（x，y）与(-，0)，(，0)的距离之和等于常数4，由椭圆的定义可知点M的轨迹，从而可得椭圆的方程；
（2）直线y=x+t与M的轨迹方程联立，消去y，利用韦达定理及OA⊥OB，即可求得t的值。
解答：
（1）∵
∴（x，y）与(-，0)，(，0)的距离之和等于常数4，
由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a=2，c=，
∴b=1，故椭圆的方程为：x²/4+y²=1；
（2）直线y=x+t与M的轨迹方程联立，消去y可得5x²+8tx+4t²-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-8t/5，x₁x₂=（4t²-4）/5，
∴y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=-4/5+1/5t²
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=（4t²-4）/5-4/5+1/5t²=0
∴
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，求得椭圆的方程，正确运用韦达定理是关键。