题目内容

在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·=1.
(Ⅰ)求动点P所在曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B作斜率为-的直线l交曲线C于M、N两点,且++=,试求△MNH的面积.
(1)曲线C的方程是+ y2=1  (2)S=
(I) 设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,y).然后求出=(x+1,y), =(x-1,y). 再对·=1坐标化化简即可。
(II)先求出直线l的方程,然后与曲线C的方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程。
下面解题的关键是++=,得=(- x1- x2,- y1- y2),即H(-1,-
|MN|=然后利用韦达定理求出|MN|,再利用点到直线的距离公式求出高,问题得解。
解:(Ⅰ)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,y).   
依据题意,有=(x+1,y), =(x-1,y).             ………………2分
·=1,∴x2-1+2 y2=1.∴动点P所在曲线C的方程是+ y2="1" …………4分
(Ⅱ)因直线l过点B,且斜率为k=-,故有l∶y=-(x-1)………………5分
联立方程组,消去y,得2x2-2x-1=0.       …………………7分
设M(x1,y1)、N(x2,y2),可得,于是. ……………8分
++=,得=(- x1- x2,- y1- y2),即H(-1,-)……10分
∴|MN|=  …………………………………12分
又l: x+2y-=0,则H到直线l的距离为d=
故所求MNH三角形的面积为S=
练习册系列答案
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