Question

（本小题满分14分）
如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。
（1）求二面角B₁—EF—B的正切值；
（2）试在棱B₁B上找一点M，使D₁M⊥平面EFB₁，并证明你的结论；
（3）求点D₁到平面EFB₁的距离。

Answer 1

，取B₁B的中点M，

（1）连AC、B₁H，则EF//AC，
∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。
∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，
∴∠B₁HB为二面角B₁—EF—B的平面角。 ………………2分
在

故二面角B₁—EF—B的正切值为 …………4分
      （2）在棱B₁B上取中点M，连D₁M、C₁M。

∵EF⊥平面B₁BDD₁，
所以EF⊥D₁M。 …………6分
在正方形BB₁C₁C中，因为M、F分别为BB₁、BC的中点，
∴B₁F⊥C₁M …………8分
又因为D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，
所以B₁F⊥D₁M，
∴D₁M⊥平面EFB₁ ………………10分
（3）设D₁M与平面EFB₁交于点N，则D₁N为点D₁到平面EFB₁的距离。……11分
在Rt△MB₁D₁中， …………12分

故点D₁到平面EFB₁的距离为   ………………14分
解二：（1）在正方体中，以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则
 ………………2分

设平面EFB₁的一个法向量为

故二面角B₁—EF—B的正切值为 …………4分
（2）设

 ………………10分
（3）
∴点D₁到平面EFB₁的距离…………14分