题目内容

(本小题满分14分)
如图,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和BC的中点,EF交BD于H。
(1)求二面角B1—EF—B的正切值;
(2)试在棱B1B上找一点M,使D1M⊥平面EFB1,并证明你的结论;
(3)求点D1到平面EFB1的距离。
,取B1B的中点M,
(1)连AC、B1H,则EF//AC,
∵AC⊥BD,所以BD⊥EF。
∵B1B⊥平面ABCD,所以B1H⊥EF,
∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角。 ………………2分


故二面角B1—EF—B的正切值为 …………4分


 
      (2)在棱B1B上取中点M,连D1M、C1M。

∵EF⊥平面B1BDD1
所以EF⊥D1M。 …………6分
在正方形BB1C1C中,因为M、F分别为BB1、BC的中点,
∴B1F⊥C1M …………8分
又因为D1C1⊥平面BCC1B1,所以B1F⊥D1C1
所以B1F⊥D1M,
∴D1M⊥平面EFB1 ………………10分
(3)设D1M与平面EFB1交于点N,则D1N为点D1到平面EFB1的距离。……11分
在Rt△MB1D1中, …………12分

故点D1到平面EFB1的距离为   ………………14分
解二:(1)在正方体中,以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系


 
 ………………2分

设平面EFB1的一个法向量为

故二面角B1—EF—B的正切值为 …………4分
(2)设

 ………………10分
(3)
∴点D1到平面EFB1的距离…………14分
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