题目内容
【题目】已知函数(
),且
的导数为
.
(Ⅰ)若是定义域内的增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若方程有3个不同的实数根,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)只需,即
恒成立,求出
即可得结果;(Ⅱ)原方程等价于
,研究函数
的单调性,结合图象可得结果.
试题解析:(Ⅰ)因为
,所以
.
由,得
,即
对于一切实数都成立.
再令,则
,由
,得
.
而当时,
,当
时,
,所以当
时,
取得极小值也是最小值,即
,所以
的取值范围是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
所以方程
,即
,
整理,得.
令,则
,
令,解得
或
.
列表得:
1 | |||||
0 | 0 | ||||
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
由表可知当时,
取得极大值
;
当时,
取得极小值
.
又当时,
,
,此时
.
因此当时,
;当
时,
;当
时,
,因此实数
的取值范围是
.
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