题目内容
【题目】设函数.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)如果且关于
的方程
有两解
,
(
),证明
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)求解函数的导函数,分类讨论可得:
①若,则当
时,数
单调递减,当
时,
函数
单调递增;
②若,函数
单调递增;
③若,则当
时,函数
单调递减,当
时,函数
单调递增.
(2)原问题即证明,构造新函数
,结合新函数的性质和题意即可证得结论.
试题解析:
(1)由,可知
.
因为函数的定义域为
,所以,
①若,则当
时,
,函数
单调递减,当
时,
,函数
单调递增;
②若,则当
在
内恒成立,函数
单调递增;
③若,则当
时,
,函数
单调递减,当
时,
,函数
单调递增.
(2)要证,只需证
.
设
,
因为,
所以为单调递增函数.
所以只需证,
即证,
只需证
.(*)
又,
,
所以两式相减,并整理,得
.
把
代入(*)式,
得只需证,
可化为.
令,得只需证
.
令(
),
则
,
所以在其定义域上为增函数,
所以.
综上得原不等式成立.
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