题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在
处取得极值,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)设若
对
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,先利用求得
值,再利用导数的几何意义求其切线方程;(Ⅱ)求导,通过讨论二次方程的两根的大小关系进行求解;(Ⅲ)分离参数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,再通过求导进行处理.
试题解析:(Ⅰ)由得
或
(舍去)
经检验,当时,函数
在
处取得极值.
时,
则
所以所求的切线方程为 整理得
.
综上所述,曲线在点
处的切线方程为
(Ⅱ)定义域为
,
令得
或
,
则
且
①当时,
此时
在
上单调递增;
②当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
③当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
综上所述,当时,
在
上单调递增;当
时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅲ)由题意, ,即
,
即对任意
恒成立,令
则
令则
即
在
上单调递减,
上单调递增,
当时
取得最小值
解得
又的取值范围为
综上所述,实数的取值范围为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,经统计知年份x和储蓄
存款y (千亿元)具有线性相关关系,下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额),
如下表(1):
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
表(1)
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,令
得到下表(2):
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
表(2)
(1)由最小二乘法求关于t的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程,求出y关于x的线性回归方程;
(3)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
)